极坐标使用半径 \(r\) 和角度 \(\theta\) 来确定点的位置，而不是使用直角坐标 \((x,y)\)。两种坐标的转换公式为
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
极坐标曲线通常写成 \(r=f(\theta)\)。在 OnlineGraphing 中，角参数可以输入为 \(t\)，因此在极坐标模式下，\(r=3\cos(4\theta)\) 可输入为 3*cos(4*t)。
1. 绘制一个基本圆
方程 \(r=2\) 表示以原点为圆心、半径为 2 的圆。当角度从 \(0\) 变化到 \(2\pi\) 时，半径保持不变。
方程 \(r=2\cos\theta\) 表示另一个圆：
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
该圆的圆心为 \((1,0)\)，半径为 1。
2. 预测玫瑰线的花瓣数量
玫瑰线的形式为
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{或}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- 当 \(n\) 为奇数时，曲线有 \(n\) 个花瓣。
- 当 \(n\) 为偶数时，曲线有 \(2n\) 个花瓣。
- \(|a|\) 是花瓣能够达到的最大长度。
因此，\(r=3\cos(4\theta)\) 有八个花瓣，每个花瓣的最大半径为 3。输入 3*cos(4*t)，并使用例如 \(0\le t\le2\pi\) 的角度区间。
3. 理解负半径
当 \(r<0\) 时，点会画在给定角度的反方向。具体来说，\((r,\theta)\) 与 \((-r,\theta+\pi)\) 表示同一个点。负半径不是错误；许多极坐标曲线正是依靠它形成内环和交替出现的花瓣。
4. 绘图前先利用对称性
常用的对称性检验包括：
- 将 \(\theta\) 替换为 \(-\theta\)，检验曲线是否关于极轴对称。
- 将 \(\theta\) 替换为 \(\pi-\theta\)，检验曲线是否关于竖直轴对称。
- 将 \(\theta\) 替换为 \(\theta+\pi\)，检验曲线是否关于原点对称。
这些检验可以帮助预测最终图形，并判断是否能用更小的角度区间完整描绘曲线。
5. 示例：带内环的帕斯卡蜗线
尝试 \(r=1+2\cos\theta\)，输入为 1+2*cos(t)。由于余弦项的系数大于常数项，在一个周期的部分区间内半径会变为负数，从而形成内环。
6. 选择合适的观察窗口
若曲线的最大半径为 \(R\)，通常可选择略大于 \([-R,R]\times[-R,R]\) 的直角坐标观察窗口。应保持横纵坐标比例相同，否则本应完全相同的花瓣可能看起来被拉伸。
常见错误
- 使用普通函数模式，而不是极坐标模式。
- 混用角度制和弧度制。
- 误以为当 \(n\) 为偶数时只有 \(n\) 个花瓣。
- 把负半径视为无效数值。
- 使用的角度区间过短，无法完整描绘曲线。