كيفية رسم المعادلات القطبية ومنحنيات الوردة

تحدد الإحداثيات القطبية موقع النقطة بنصف قطر \(r\) وزاوية \(\theta\) بدل الإحداثيات الديكارتية \((x,y)\). وصيغ التحويل هي

\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]

يكتب الرسم القطبي عادة على صورة \(r=f(\theta)\). وفي OnlineGraphing يمكن إدخال الوسيط الزاوي بالرمز \(t\)، ولذلك يمكن إدخال \(r=3\cos(4\theta)\) على هيئة 3*cos(4*t) في النمط القطبي.

1. ارسم دائرة أساسية

تعطي المعادلة \(r=2\) دائرة نصف قطرها 2 ومركزها نقطة الأصل. ومع تغير الزاوية من \(0\) إلى \(2\pi\) يبقى نصف القطر ثابتًا.

أما المعادلة \(r=2\cos\theta\) فتعطي دائرة مختلفة:

\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]

مركزها \((1,0)\) ونصف قطرها 1.

2. تنبأ بعدد بتلات منحنى الوردة

تأخذ منحنيات الوردة الصورة

\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{أو}\quad r=a\sin(n\theta).\]

• إذا كان \(n\) فرديًا، فللمنحنى \(n\) بتلات.
• إذا كان \(n\) زوجيًا، فللمنحنى \(2n\) بتلات.
• القيمة المطلقة \(|a|\) هي الطول الأقصى للبتلة.

إذن للمنحنى \(r=3\cos(4\theta)\) ثماني بتلات، يصل كل منها إلى نصف قطر 3. أدخل 3*cos(4*t) واستخدم مجال زاوية مثل \(0\le t\le2\pi\).

3. افهم نصف القطر السالب

عندما يكون \(r<0\) تُرسم النقطة في الاتجاه المعاكس للزاوية. وبالتحديد، تمثل \((r,\theta)\) النقطة نفسها التي تمثلها \((-r,\theta+\pi)\). نصف القطر السالب ليس خطأً، بل هو ما يسمح لكثير من المنحنيات القطبية بتكوين حلقات وبتلات متبادلة.

4. استخدم التماثل قبل الرسم

تشمل اختبارات التماثل الشائعة:

• استبدل \(\theta\) بـ \(-\theta\) لاختبار التماثل حول المحور القطبي.
• استبدل \(\theta\) بـ \(\pi-\theta\) لاختبار التماثل حول المحور الرأسي.
• استبدل \(\theta\) بـ \(\theta+\pi\) لاختبار التماثل حول نقطة الأصل.

تساعد هذه الاختبارات في توقع شكل المنحنى النهائي ومعرفة ما إذا كان مجال زاوية أصغر يكفي لتتبعه كاملًا.

5. مثال: ليماسون ذو حلقة داخلية

جرّب \(r=1+2\cos\theta\) وأدخله بالشكل 1+2*cos(t). لأن معامل جيب التمام أكبر من الحد الثابت، يصبح نصف القطر سالبًا في جزء من الدورة فتتكون حلقة داخلية.

6. اختر نافذة عرض مناسبة

لمنحنى نصف قطره الأقصى \(R\) تكون نافذة ديكارتية أكبر قليلًا من \([-R,R]\times[-R,R]\) مناسبة عادة. حافظ على تساوي مقياس المحورين، وإلا فقد تبدو البتلات المتطابقة ممدودة.

أخطاء شائعة

• استعمال نمط الدالة العادي بدل النمط القطبي.
• الخلط بين الدرجات والراديان.
• توقع أن تعطي قيمة زوجية لـ \(n\) عدد \(n\) فقط من البتلات.
• اعتبار نصف القطر السالب غير صالح.
• استخدام مجال زاوية أقصر من اللازم لإكمال المنحنى.

جرّب في حاسبة الرسوم البيانية. ولمقارنة الوصفين القطبي والديكارتي اقرأ الدوائر والقطوع الناقصة والمعادلات الضمنية.