В полярных координатах положение точки задаётся радиусом \(r\) и углом \(\theta\), а не декартовыми координатами \((x,y)\). Формулы перехода имеют вид
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Полярный график обычно записывают как \(r=f(\theta)\). В OnlineGraphing угловой параметр можно вводить как \(t\), поэтому формулу \(r=3\cos(4\theta)\) в полярном режиме можно записать как 3*cos(4*t).
1. Постройте простую окружность
Уравнение \(r=2\) задаёт окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Пока угол меняется от \(0\) до \(2\pi\), радиус остаётся постоянным.
Уравнение \(r=2\cos\theta\) задаёт другую окружность:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Её центр — \((1,0)\), радиус равен 1.
2. Предскажите число лепестков полярной розы
Кривые-розы имеют вид
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{или}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Если \(n\) нечётно, кривая имеет \(n\) лепестков.
- Если \(n\) чётно, кривая имеет \(2n\) лепестков.
- Модуль \(|a|\) равен максимальной длине лепестка.
Следовательно, \(r=3\cos(4\theta)\) имеет восемь лепестков длиной до 3. Введите 3*cos(4*t) и задайте, например, \(0\le t\le2\pi\).
3. Поймите смысл отрицательного радиуса
При \(r<0\) точка откладывается в направлении, противоположном заданному углу. Точка \((r,\theta)\) совпадает с \((-r,\theta+\pi)\). Отрицательный радиус не является ошибкой: именно он позволяет многим полярным кривым образовывать внутренние петли и чередующиеся лепестки.
4. Используйте симметрию до построения
Основные проверки симметрии:
- Замените \(\theta\) на \(-\theta\), чтобы проверить симметрию относительно полярной оси.
- Замените \(\theta\) на \(\pi-\theta\), чтобы проверить симметрию относительно вертикальной оси.
- Замените \(\theta\) на \(\theta+\pi\), чтобы проверить симметрию относительно начала координат.
Эти проверки помогают заранее представить итоговую кривую и понять, можно ли полностью обвести её на меньшем интервале угла.
5. Пример: улитка Паскаля с внутренней петлёй
Попробуйте \(r=1+2\cos\theta\), введя 1+2*cos(t). Поскольку коэффициент при косинусе больше постоянного члена, на части периода радиус становится отрицательным и образуется внутренняя петля.
6. Выберите подходящее окно просмотра
Для кривой с максимальным радиусом \(R\) обычно подходит декартово окно немного больше \([-R,R]\times[-R,R]\). Сохраняйте одинаковый масштаб осей, иначе одинаковые лепестки могут выглядеть растянутыми.
Типичные ошибки
- Использование обычного режима функции вместо полярного режима.
- Смешение градусов и радиан.
- Ожидание только \(n\) лепестков при чётном \(n\).
- Считание отрицательного радиуса недопустимым.
- Слишком короткий интервал угла, не завершающий кривую.
Экспериментируйте в графическом калькуляторе. Для сравнения полярного и декартова описаний прочитайте о окружностях, эллипсах и неявных уравнениях.