วิธีวาดกราฟสมการเชิงขั้วและเส้นโค้งรูปดอกกุหลาบ

พิกัดเชิงขั้วระบุตำแหน่งของจุดด้วยรัศมี \(r\) และมุม \(\theta\) แทนพิกัดฉาก \((x,y)\) สูตรการแปลงคือ

\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]

กราฟเชิงขั้วมักเขียนเป็น \(r=f(\theta)\) ใน OnlineGraphing สามารถป้อนพารามิเตอร์มุมเป็น \(t\) ได้ ดังนั้นสูตรอย่าง \(r=3\cos(4\theta)\) จึงป้อนเป็น 3*cos(4*t) ในโหมดเชิงขั้ว

1. วาดวงกลมพื้นฐาน

สมการ \(r=2\) ให้วงกลมรัศมี 2 ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด เมื่อมุมเปลี่ยนจาก \(0\) ถึง \(2\pi\) รัศมีจะคงที่

สมการ \(r=2\cos\theta\) ให้เป็นวงกลมอีกวงหนึ่ง:

\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]

วงกลมนี้มีศูนย์กลางที่ \((1,0)\) และรัศมี 1

2. คาดการณ์จำนวนกลีบของเส้นโค้งรูปดอกกุหลาบ

เส้นโค้งรูปดอกกุหลาบมีรูป

\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{หรือ}\quad r=a\sin(n\theta).\]

• ถ้า \(n\) เป็นจำนวนคี่ เส้นโค้งมี \(n\) กลีบ
• ถ้า \(n\) เป็นจำนวนคู่ เส้นโค้งมี \(2n\) กลีบ
• ค่าสัมบูรณ์ \(|a|\) คือความยาวสูงสุดของกลีบ

ดังนั้น \(r=3\cos(4\theta)\) มีแปดกลีบ โดยแต่ละกลีบยาวถึงรัศมี 3 ให้ป้อน 3*cos(4*t) และใช้ช่วงมุม เช่น \(0\le t\le2\pi\)

3. เข้าใจรัศมีลบ

เมื่อ \(r<0\) จุดจะถูกวาดในทิศตรงข้ามกับมุม โดยเฉพาะ \((r,\theta)\) แทนจุดเดียวกับ \((-r,\theta+\pi)\) รัศมีลบไม่ใช่ข้อผิดพลาด แต่เป็นคุณสมบัติที่ทำให้เส้นโค้งเชิงขั้วจำนวนมากเกิดวงวนและกลีบสลับกันได้

4. ใช้สมมาตรก่อนวาดกราฟ

การทดสอบสมมาตรที่ใช้บ่อย ได้แก่:

• แทน \(\theta\) ด้วย \(-\theta\) เพื่อทดสอบสมมาตรเกี่ยวกับแกนเชิงขั้ว
• แทน \(\theta\) ด้วย \(\pi-\theta\) เพื่อทดสอบสมมาตรเกี่ยวกับแกนตั้ง
• แทน \(\theta\) ด้วย \(\theta+\pi\) เพื่อทดสอบสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

การทดสอบเหล่านี้ช่วยคาดการณ์รูปร่างสุดท้าย และช่วยดูว่าช่วงมุมที่สั้นกว่าสามารถลากเส้นโค้งได้ครบหรือไม่

5. ตัวอย่าง: ลิมาซองที่มีวงวนด้านใน

ลองใช้ \(r=1+2\cos\theta\) โดยป้อนเป็น 1+2*cos(t) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของโคไซน์มากกว่าพจน์คงที่ รัศมีจึงเป็นลบในบางช่วงของคาบและเกิดวงวนด้านใน

6. เลือกหน้าต่างแสดงผลที่เหมาะสม

สำหรับเส้นโค้งที่มีรัศมีสูงสุด \(R\) หน้าต่างพิกัดฉากที่ใหญ่กว่า \([-R,R]\times[-R,R]\) เล็กน้อยมักเหมาะสม ควรใช้มาตราส่วนแกนเท่ากัน มิฉะนั้นกลีบที่ควรมีรูปร่างเหมือนกันอาจดูยืดออก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ใช้โหมดฟังก์ชันมาตรฐานแทนโหมดเชิงขั้ว
• ผสมหน่วยองศากับเรเดียน
• คาดว่า \(n\) ที่เป็นจำนวนคู่จะให้เพียง \(n\) กลีบ
• คิดว่ารัศมีลบใช้ไม่ได้
• ใช้ช่วงมุมสั้นเกินไปจนลากเส้นโค้งไม่ครบ

ทดลองใน เครื่องคำนวณกราฟ หากต้องการเปรียบเทียบคำอธิบายแบบเชิงขั้วกับแบบพิกัดฉาก ให้อ่าน วงกลม วงรี และสมการโดยปริยาย