วิธีวาดกราฟวงกลม วงรี และสมการโดยปริยาย

เส้นโค้งสำคัญจำนวนมากไม่สามารถแทนตลอดทั้งเส้นด้วยฟังก์ชันเดียวในรูป \(y=f(x)\) ตัวอย่างเช่น วงกลมมีค่า y สองค่าสำหรับค่า x ส่วนใหญ่ โหมดสมการโดยปริยายช่วยให้วาดความสัมพันธ์ที่เขียนเป็น

\[F(x,y)=0\]

โดยไม่ต้องแก้ความสัมพันธ์ทั้งหมดเพื่อหาตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง

1. วาดวงกลม

วงกลมที่มีศูนย์กลาง \((h,k)\) และรัศมี \(r\) มีสมการ

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]

สำหรับวงกลมที่มีศูนย์กลาง \((2,-1)\) และรัศมี 3 ให้ใช้โหมดโดยปริยายและป้อน

(x-2)^2+(y+1)^2=9

หน้าต่าง เช่น \(-2\le x\le6\) และ \(-5\le y\le3\) จะเหลือพื้นที่รอบเส้นโค้งเพียงพอ

2. วาดวงรี

วงรีที่แกนขนานกับแกนพิกัดมีรูปมาตรฐาน

\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]

ป้อน

(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1

เพื่อวาดวงรีที่มีศูนย์กลาง \((1,-2)\) กึ่งแกนนอน 2 และกึ่งแกนตั้ง 3 จุดยอดคือ \((1,-5)\) และ \((1,1)\) ส่วนจุดปลายแกนรองคือ \((-1,-2)\) และ \((3,-2)\)

3. เหตุใดการแก้สมการหา y จึงมักไม่สะดวก

สมการวงกลม \(x^2+y^2=9\) แยกได้เป็น

\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{และ}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]

วิธีนี้ใช้ได้ แต่ต้องสร้างวัตถุฟังก์ชันสองรายการและจำกัดโดเมน \(-3\le x\le3\) สมการโดยปริยายสั้นกว่าและรักษาสมมาตรไว้โดยอัตโนมัติ

4. วาดเส้นโค้งโดยปริยายที่ทั่วไปขึ้น

โหมดโดยปริยายยังแสดงเส้นโค้ง เช่น

• \(x^3+y^3=3xy\) โฟเลียมของเดการ์ต
• \(x^2y+y^3=x\)
• \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\) เส้นโค้งพีชคณิตรูปหัวใจ

เส้นโค้งโดยปริยายที่ซับซ้อนอาจต้องใช้ขั้นของกริดที่เล็กลงหรือการตั้งค่าคุณภาพที่สูงขึ้น เพื่อแสดงแขนงแคบได้อย่างถูกต้อง

5. หมุนภาคตัดกรวย

ความสัมพันธ์กำลังสองทั่วไปอาจมีพจน์ \(xy\):

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]

เมื่อ \(B\ne0\) แกนหลักมักหมุนเมื่อเทียบกับแกนพิกัด การวาดแบบโดยปริยายช่วยหลีกเลี่ยงพีชคณิตที่ยาวในการแก้หา y แม้ว่าการจำแนกเชิงวิเคราะห์ยังขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์และดิสคริมิแนนต์ \(B^2-4AC\)

6. ระบายพื้นที่ภายในภาคตัดกรวย

เปลี่ยนเครื่องหมายเท่ากับเป็นอสมการเพื่ออธิบายบริเวณ ตัวอย่างเช่น

\[x^2+y^2\le9\]

คือจานวงกลมปิดรัศมี 3 ใช้ เครื่องมือระบายพื้นที่กราฟ เมื่อต้องการกำหนดสี ความทึบ หรือบริเวณที่ถูกล้อมด้วยเส้นโค้งหลายเส้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• พยายามป้อนวงกลมในโหมดปกติ \(y=f(x)\)
• ลืมวงเล็บรอบพิกัดที่มีการเลื่อนตำแหน่ง
• ใช้มาตราส่วนแกนไม่เท่ากันและเข้าใจผิดว่าวงกลมเป็นวงรี
• เลือกหน้าต่างแสดงผลที่ตัดจุดยอดหรือส่วนประกอบที่แยกจากกัน
• คิดว่าเส้นโค้งโดยปริยายทุกเส้นผ่านการทดสอบเส้นตั้ง

เปิด เครื่องคำนวณกราฟ แล้วเปรียบเทียบการแทนแบบโดยปริยาย แบบอิงตัวแปรเสริม และแบบชัดแจ้ง สำหรับภาคตัดกรวยที่ใช้พารามิเตอร์ ให้อ่าน สมการอิงตัวแปรเสริม