วิธีวาดกราฟสมการอิงตัวแปรเสริมออนไลน์

สมการอิงตัวแปรเสริมกำหนดพิกัดทั้งสองด้วยตัวแปรที่สาม ซึ่งโดยทั่วไปคือ \(t\):

\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]

สมการชนิดนี้มีประโยชน์อย่างมากสำหรับวงกลม วงรี ไซคลอยด์ เส้นโค้งที่มีวงวน และเส้นโค้งที่เขียนเป็นฟังก์ชันเดียวในรูป \(y=f(x)\) ได้ยากหรือเขียนไม่ได้

1. เริ่มจากวงกลมหนึ่งหน่วย

การกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐาน

\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]

ลากวงกลมหนึ่งหน่วยครบหนึ่งรอบในทิศทวนเข็มนาฬิกา โดยเริ่มที่ \((1,0)\) ในโหมดกราฟอิงตัวแปรเสริม ให้ป้อน cos(t) สำหรับ \(x(t)\) และ sin(t) สำหรับ \(y(t)\) จากนั้นกำหนดช่วงพารามิเตอร์จาก \(0\) ถึง \(2\pi\)

2. เข้าใจบทบาทของช่วงพารามิเตอร์

สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนดว่าส่วนใดของเส้นโค้งจะปรากฏ สำหรับวงกลม:

• \(0\le t\le\pi\) วาดเฉพาะครึ่งวงกลมด้านบน
• \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) วาดครึ่งวงกลมด้านขวา
• \(0\le t\le4\pi\) ลากวงกลมเดิมสองรอบ

เลือกช่วงที่สั้นที่สุดซึ่งแสดงเส้นโค้งตามที่ต้องการได้ครบถ้วน โดยไม่ลากซ้ำโดยไม่จำเป็น

3. วาดวงรี

วงรีที่มีจุดศูนย์กลาง \((h,k)\) กึ่งแกนนอน \(a\) และกึ่งแกนตั้ง \(b\) เขียนในรูปพารามิเตอร์ได้เป็น

\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]

สำหรับวงรีที่มีศูนย์กลาง \((1,-2)\) และมีกึ่งแกน 3 กับ 2 ให้ป้อน:

• 1+3*cos(t)
• -2+2*sin(t)

ใช้มาตราส่วนเท่ากันบนทั้งสองแกนเมื่อพิจารณารูปร่าง หากมาตราส่วนบนหน้าจอไม่เท่ากัน วงกลมจริงอาจดูเหมือนวงรี

4. ตรวจสอบทิศทางและความเร็ว

พารามิเตอร์ให้ข้อมูลมากกว่าเส้นทางเชิงเรขาคณิต เวกเตอร์ความเร็วคือ

\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]

สำหรับวงกลมหนึ่งหน่วย \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\) ที่ \(t=0\) จุดอยู่ที่ \((1,0)\) และเวกเตอร์ความเร็วชี้ขึ้น จึงยืนยันการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา การแทน \(\sin t\) ด้วย \(-\sin t\) จะกลับทิศทางการลากเส้น

5. ตัวอย่าง: เส้นโค้งลิสซาจูส์

ลองใช้

\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]

ป้อน sin(3*t) และ sin(2*t) อัตราส่วนความถี่ควบคุมจำนวนกลีบ การเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์เพียงเล็กน้อยอาจทำให้เกิดลวดลายปิดที่แตกต่างกันมาก

6. ป้องกันรายละเอียดหายไป

เส้นโค้งที่สั่นเร็วหรือเลี้ยวอย่างฉับพลันต้องใช้จุดสุ่มตัวอย่างมากพอ หากเส้นโค้งดูเป็นรูปหลายเหลี่ยม มีช่องว่าง หรือลากตัดวงวน ให้ลดขนาดขั้นของพารามิเตอร์หรือเพิ่มคุณภาพการเรนเดอร์หากมีตัวเลือกดังกล่าว และตรวจสอบว่าช่วงพารามิเตอร์ใช้หน่วยเรเดียน เว้นแต่เครื่องมือจะถูกตั้งเป็นองศาอย่างชัดเจน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ป้อนทั้งสองสูตรในช่องฟังก์ชันมาตรฐาน \(y=f(x)\)
• ใช้หน่วยองศาในสูตรเมื่อกราฟคาดหวังเรเดียน
• เลือกช่วงที่วาดเส้นโค้งเพียงบางส่วน
• ใช้มาตราส่วนแกนไม่เท่ากันและตีความเรขาคณิตผิด
• ไม่สนใจทิศทางที่เส้นโค้งถูกลาก

เปิด เครื่องคำนวณกราฟ แล้วเปรียบเทียบตัวอย่างวงกลม วงรี และเส้นโค้งลิสซาจูส์ สำหรับระบบพิกัดอีกแบบหนึ่ง ให้อ่านต่อเรื่อง สมการเชิงขั้วและเส้นโค้งรูปดอกกุหลาบ