Równania parametryczne opisują obie współrzędne za pomocą trzeciej zmiennej, zwykle \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Są szczególnie przydatne dla okręgów, elips, cykloid, pętli i krzywych, których trudno lub nie można zapisać jako jednej funkcji \(y=f(x)\).
1. Zacznij od okręgu jednostkowego
Standardowa parametryzacja
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
przebiega okrąg jednostkowy jeden raz przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając w punkcie \((1,0)\). W trybie parametrycznym wpisz cos(t) dla \(x(t)\) i sin(t) dla \(y(t)\), a następnie ustaw przedział parametru od \(0\) do \(2\pi\).
2. Zrozum rolę przedziału parametru
Same wzory nie określają, jak duża część krzywej zostanie narysowana. Dla okręgu:
- \(0\le t\le\pi\) rysuje tylko górny półokrąg.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) rysuje prawy półokrąg.
- \(0\le t\le4\pi\) przebiega ten sam okrąg dwa razy.
Wybierz najmniejszy przedział, który przedstawia całą zamierzoną krzywą bez zbędnego powtarzania.
3. Narysuj elipsę
Elipsę o środku \((h,k)\), poziomej półosi \(a\) i pionowej półosi \(b\) można sparametryzować jako
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Dla elipsy o środku \((1,-2)\) i półosiach 3 oraz 2 wpisz:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Podczas oceny kształtu używaj jednakowej skali na obu osiach. Nierówne skale ekranu mogą sprawić, że prawdziwy okrąg będzie wyglądał jak elipsa.
4. Kierunek przebiegu i prędkość
Parametr dostarcza więcej informacji niż sama geometryczna ścieżka. Wektor prędkości ma postać
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Dla okręgu jednostkowego \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). Przy \(t=0\) punkt ma współrzędne \((1,0)\), a prędkość jest skierowana w górę, co potwierdza ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Zastąpienie \(\sin t\) przez \(-\sin t\) odwraca kierunek.
5. Przykład: krzywa Lissajous
Wypróbuj
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Wpisz sin(3*t) i sin(2*t). Stosunek częstotliwości określa liczbę płatów. Niewielkie zmiany współczynników mogą utworzyć bardzo różne zamknięte wzory.
6. Nie pomijaj szczegółów
Krzywe o szybkich oscylacjach lub ostrych zakrętach wymagają odpowiedniej liczby punktów próbkowania. Jeżeli krzywa wygląda jak łamana, ma przerwy albo przecina pętlę cięciwą, zmniejsz krok parametru lub zwiększ jakość renderowania. Sprawdź także, czy przedział parametru jest podany w radianach, chyba że narzędzie zostało jawnie przełączone na stopnie.
Najczęstsze błędy
- Wpisywanie obu wzorów do standardowego pola \(y=f(x)\).
- Używanie stopni, gdy wykres oczekuje radianów.
- Wybranie przedziału rysującego tylko część krzywej.
- Użycie różnych skal osi i błędna interpretacja geometrii.
- Ignorowanie kierunku przebiegu krzywej.
Otwórz kalkulator graficzny i porównaj okrąg, elipsę oraz krzywą Lissajous. Dla innego układu współrzędnych przejdź do równań biegunowych i krzywych różanych.