Parametrische vergelijkingen beschrijven beide coördinaten met een derde variabele, meestal \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Ze zijn bijzonder nuttig voor cirkels, ellipsen, cycloïden, lussen en krommen die moeilijk of onmogelijk als één functie \(y=f(x)\) kunnen worden geschreven.
1. Begin met de eenheidscirkel
De standaardparametrisatie
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
doorloopt de eenheidscirkel één keer tegen de klok in, beginnend bij \((1,0)\). Voer in de parametrische modus cos(t) in voor \(x(t)\) en sin(t) voor \(y(t)\), en stel daarna het parameterinterval in van \(0\) tot \(2\pi\).
2. Begrijp de rol van het parameterinterval
De formules alleen bepalen niet hoeveel van de kromme wordt weergegeven. Voor de cirkel:
- \(0\le t\le\pi\) tekent alleen de bovenste halve cirkel.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) tekent de rechter halve cirkel.
- \(0\le t\le4\pi\) doorloopt dezelfde cirkel twee keer.
Kies het kleinste interval dat de bedoelde kromme volledig weergeeft zonder onnodige herhaling.
3. Teken een ellips
Een ellips met middelpunt \((h,k)\), horizontale halve as \(a\) en verticale halve as \(b\) kan worden geparametriseerd door
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Voer voor een ellips met middelpunt \((1,-2)\) en halve assen 3 en 2 in:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Gebruik dezelfde schaal op beide assen wanneer je de vorm controleert. Een ongelijke schermschaal kan een echte cirkel eruit laten zien als een ellips.
4. Doorlooprichting en snelheid
De parameter bevat meer informatie dan alleen het geometrische spoor. De snelheidsvector is
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Voor de eenheidscirkel geldt \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). Bij \(t=0\) is het punt \((1,0)\) en wijst de snelheid omhoog, wat de beweging tegen de klok in bevestigt. Door \(\sin t\) te vervangen door \(-\sin t\) keert de richting om.
5. Voorbeeld: een Lissajous-kromme
Probeer
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Voer sin(3*t) en sin(2*t) in. De frequentieverhouding bepaalt het aantal lobben. Kleine wijzigingen in de coëfficiënten kunnen heel andere gesloten patronen opleveren.
6. Voorkom ontbrekende details
Krommen met snelle oscillaties of scherpe bochten hebben voldoende bemonsteringspunten nodig. Verklein de parameterstap of verhoog de weergavekwaliteit wanneer de kromme hoekig lijkt, openingen bevat of een lus afsnijdt. Controleer ook of het parameterinterval in radialen is uitgedrukt, tenzij het hulpmiddel expliciet op graden staat.
Veelgemaakte fouten
- Beide formules in een standaardveld \(y=f(x)\) invoeren.
- Graden gebruiken terwijl de grafiek radialen verwacht.
- Een interval kiezen dat slechts een deel van de kromme tekent.
- Ongelijke asschalen gebruiken en de meetkunde verkeerd interpreteren.
- De richting waarin de kromme wordt doorlopen negeren.
Open de grafische rekenmachine en vergelijk de cirkel, ellips en Lissajous-kromme. Ga voor een ander coördinatenstelsel verder met poolvergelijkingen en rozenkrommen.