매개방정식은 보통 \(t\)로 나타내는 세 번째 변수를 사용하여 두 좌표를 모두 표현합니다.
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
원, 타원, 사이클로이드, 고리 모양 곡선, 그리고 하나의 함수 \(y=f(x)\)로 표현하기 어렵거나 불가능한 곡선을 나타낼 때 특히 유용합니다.
1. 단위원에서 시작하기
표준 매개화
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
는 \((1,0)\)에서 시작하여 단위원을 반시계 방향으로 한 번 그립니다. 매개변수 그래프 모드에서 cos(t)를 \(x(t)\)에, sin(t)를 \(y(t)\)에 입력하고, 매개변수 구간을 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 설정합니다.
2. 매개변수 구간의 역할 이해하기
식만으로는 곡선의 어느 부분이 나타날지 정해지지 않습니다. 원의 경우:
- \(0\le t\le\pi\)는 위쪽 반원만 그립니다.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\)는 오른쪽 반원을 그립니다.
- \(0\le t\le4\pi\)는 같은 원을 두 번 그립니다.
불필요한 반복 없이 원하는 곡선을 나타내는 가장 짧은 구간을 선택하십시오.
3. 타원 그리기
중심이 \((h,k)\), 가로 반지름이 \(a\), 세로 반지름이 \(b\)인 타원은 다음과 같이 매개화할 수 있습니다.
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
중심이 \((1,-2)\)이고 반지름이 3과 2인 타원은 다음을 입력합니다.
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
모양을 확인할 때 두 축의 눈금을 같게 설정하십시오. 화면 축척이 다르면 실제 원이 타원처럼 보일 수 있습니다.
4. 진행 방향과 속도 확인하기
매개변수는 기하학적 경로 이상의 정보를 제공합니다. 속도 벡터는
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
입니다. 단위원에서는 \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\)입니다. \(t=0\)에서 점은 \((1,0)\)이고 속도는 위쪽을 향하므로 반시계 방향 운동임을 확인할 수 있습니다. \(\sin t\)를 \(-\sin t\)로 바꾸면 방향이 반대로 됩니다.
5. 예제: 리사주 곡선
다음을 입력해 보십시오.
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
sin(3*t)와 sin(2*t)를 입력합니다. 진동수의 비가 곡선의 잎 수를 결정합니다. 계수를 조금만 바꾸어도 매우 다른 닫힌 무늬가 나타날 수 있습니다.
6. 세부가 누락되지 않게 하기
빠르게 진동하거나 급격히 방향이 바뀌는 곡선에는 충분한 표본점이 필요합니다. 곡선이 다각형처럼 보이거나, 중간에 끊기거나, 고리를 가로질러 연결된다면 매개변수 간격을 줄이거나 가능한 경우 렌더링 품질을 높이십시오. 또한 도 단위로 명시적으로 설정하지 않았다면 매개변수 구간이 라디안인지 확인해야 합니다.
자주 하는 실수
- 두 식을 일반적인 \(y=f(x)\) 입력란에 넣는 것.
- 그래프가 라디안을 사용하는데 식을 도 단위로 해석하는 것.
- 곡선의 일부만 그리는 구간을 선택하는 것.
- 축척이 다른 상태에서 기하적 모양을 잘못 판단하는 것.
- 곡선이 그려지는 방향을 무시하는 것.
그래프 계산기를 열고 원, 타원, 리사주 곡선을 비교해 보십시오. 다른 좌표계는 극방정식과 장미곡선에서 계속 설명합니다.