극좌표는 반지름 \(r\)과 각 \(\theta\)를 사용하여 직교좌표 \((x,y)\) 대신 점의 위치를 나타냅니다. 변환식은
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
입니다. 극좌표 그래프는 보통 \(r=f(\theta)\)로 씁니다. OnlineGraphing에서는 각도 매개변수를 \(t\)로 입력할 수 있으므로 \(r=3\cos(4\theta)\)는 극좌표 모드에서 3*cos(4*t)로 입력할 수 있습니다.
1. 기본 원 그리기
방정식 \(r=2\)는 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 원을 나타냅니다. 각이 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 변하는 동안 반지름은 일정합니다.
방정식 \(r=2\cos\theta\)는 다른 원을 나타냅니다.
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
중심은 \((1,0)\)이고 반지름은 1입니다.
2. 장미곡선의 잎 수 예측하기
장미곡선은 다음 형태입니다.
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{or}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- \(n\)이 홀수이면 잎이 \(n\)개입니다.
- \(n\)이 짝수이면 잎이 \(2n\)개입니다.
- \(|a|\)는 잎의 최대 길이입니다.
따라서 \(r=3\cos(4\theta)\)는 8개의 잎을 가지며 각 잎은 반지름 3까지 뻗습니다. 3*cos(4*t)를 입력하고 \(0\le t\le2\pi\) 같은 각도 구간을 사용합니다.
3. 음의 반지름 이해하기
\(r<0\)이면 점은 주어진 각의 반대 방향에 그려집니다. 구체적으로 \((r,\theta)\)와 \((-r,\theta+\pi)\)는 같은 점을 나타냅니다. 음의 반지름은 오류가 아니라, 많은 극좌표 곡선이 고리와 번갈아 나타나는 잎을 만들 수 있게 하는 성질입니다.
4. 그리기 전에 대칭성 확인하기
자주 사용하는 대칭성 검사는 다음과 같습니다.
- \(\theta\)를 \(-\theta\)로 바꾸어 극축에 대한 대칭을 확인합니다.
- \(\theta\)를 \(\pi-\theta\)로 바꾸어 수직축에 대한 대칭을 확인합니다.
- \(\theta\)를 \(\theta+\pi\)로 바꾸어 원점 대칭을 확인합니다.
이 검사를 통해 완성된 모양을 예측하고 더 짧은 각도 구간만으로 전체 곡선을 그릴 수 있는지도 알 수 있습니다.
5. 예제: 안쪽 고리가 있는 리마송
\(r=1+2\cos\theta\)를 1+2*cos(t)로 입력해 보십시오. 코사인 계수가 상수항보다 크기 때문에 주기의 일부에서 반지름이 음수가 되어 안쪽 고리가 생깁니다.
6. 알맞은 보기 창 선택하기
최대 반지름이 \(R\)인 곡선은 \([-R,R]\times[-R,R]\)보다 약간 넓은 직교좌표 보기 창이 적당합니다. 축의 눈금을 같게 유지하지 않으면 같은 모양이어야 하는 잎들이 늘어나 보일 수 있습니다.
자주 하는 실수
- 극좌표 모드 대신 일반 함수 모드를 사용하는 것.
- 도와 라디안을 혼동하는 것.
- \(n\)이 짝수일 때 잎이 \(n\)개뿐이라고 생각하는 것.
- 음의 반지름을 잘못된 값으로 취급하는 것.
- 각도 구간이 너무 짧아 곡선이 완성되지 않는 것.
그래프 계산기에서 직접 실험해 보십시오. 극좌표 표현과 직교좌표 표현을 비교하려면 원, 타원과 음함수 방정식을 읽으십시오.