Las coordenadas polares localizan un punto mediante un radio \(r\) y un ángulo \(\theta\), en lugar de las coordenadas cartesianas \((x,y)\). Las fórmulas de conversión son
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Una gráfica polar suele escribirse como \(r=f(\theta)\). En OnlineGraphing, el parámetro angular puede introducirse como \(t\), por lo que una fórmula como \(r=3\cos(4\theta)\) puede escribirse como 3*cos(4*t) en el modo polar.
1. Grafica una circunferencia básica
La ecuación \(r=2\) produce una circunferencia de radio 2 centrada en el origen. Cuando el ángulo recorre desde \(0\) hasta \(2\pi\), el radio permanece constante.
La ecuación \(r=2\cos\theta\) produce otra circunferencia:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Está centrada en \((1,0)\) y tiene radio 1.
2. Predice el número de pétalos de una rosa polar
Las rosas polares tienen la forma
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{o}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Si \(n\) es impar, la curva tiene \(n\) pétalos.
- Si \(n\) es par, la curva tiene \(2n\) pétalos.
- El valor absoluto \(|a|\) es la longitud máxima de cada pétalo.
Por tanto, \(r=3\cos(4\theta)\) tiene ocho pétalos, cada uno de los cuales alcanza un radio de 3. Introduce 3*cos(4*t) y utiliza un intervalo angular como \(0\le t\le2\pi\).
3. Comprende el radio negativo
Cuando \(r<0\), el punto se representa en la dirección opuesta al ángulo. En concreto, \((r,\theta)\) representa el mismo punto que \((-r,\theta+\pi)\). Un radio negativo no es un error; permite que muchas curvas polares formen lazos y pétalos alternos.
4. Utiliza la simetría antes de graficar
Entre las pruebas de simetría habituales se encuentran:
- Sustituir \(\theta\) por \(-\theta\) para comprobar la simetría respecto del eje polar.
- Sustituir \(\theta\) por \(\pi-\theta\) para comprobar la simetría respecto del eje vertical.
- Sustituir \(\theta\) por \(\theta+\pi\) para comprobar la simetría respecto del origen.
Estas pruebas ayudan a predecir la curva completa y muestran si un intervalo angular menor puede recorrerla por completo.
5. Ejemplo: un limacón con lazo interior
Prueba \(r=1+2\cos\theta\), introducido como 1+2*cos(t). Como el coeficiente del coseno es mayor que el término constante, el radio se vuelve negativo durante una parte del ciclo y crea un lazo interior.
6. Elige una ventana de visualización adecuada
Para una curva con radio máximo \(R\), suele resultar adecuada una ventana cartesiana ligeramente mayor que \([-R,R]\times[-R,R]\). Mantén la misma escala en ambos ejes; de lo contrario, pétalos que deberían ser idénticos pueden parecer estirados.
Errores frecuentes
- Usar el modo de función estándar en lugar del modo polar.
- Mezclar grados y radianes.
- Esperar que un valor par de \(n\) produzca solo \(n\) pétalos.
- Considerar inválido un radio negativo.
- Utilizar un intervalo angular demasiado corto para completar la curva.
Experimenta en la calculadora gráfica. Para comparar las descripciones polar y cartesiana, consulta círculos, elipses y ecuaciones implícitas.