ध्रुवीय समीकरणों और गुलाब वक्रों का आलेख कैसे बनाएँ

ध्रुवीय निर्देशांक किसी बिंदु को त्रिज्या \(r\) और कोण \(\theta\) से निर्धारित करते हैं, न कि कार्तीय निर्देशांक \((x,y)\) से। रूपांतरण सूत्र हैं

\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]

ध्रुवीय आलेख सामान्यतः \(r=f(\theta)\) के रूप में लिखा जाता है। OnlineGraphing में कोणीय प्राचल को \(t\) से दर्ज किया जा सकता है, इसलिए \(r=3\cos(4\theta)\) को ध्रुवीय मोड में 3*cos(4*t) लिखें।

1. मूल वृत्त का आलेख बनाएँ

समीकरण \(r=2\) मूलबिंदु-केंद्रित त्रिज्या 2 का वृत्त देता है। कोण \(0\) से \(2\pi\) तक बदलता है, जबकि त्रिज्या स्थिर रहती है।

समीकरण \(r=2\cos\theta\) एक अलग वृत्त देता है:

\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]

इसका केंद्र \((1,0)\) और त्रिज्या 1 है।

2. गुलाब वक्र की पंखुड़ियों की संख्या ज्ञात करें

गुलाब वक्रों का रूप है

\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{अथवा}\quad r=a\sin(n\theta).\]

• यदि \(n\) विषम है, तो वक्र में \(n\) पंखुड़ियाँ होती हैं।
• यदि \(n\) सम है, तो वक्र में \(2n\) पंखुड़ियाँ होती हैं।
• \(|a|\) पंखुड़ी की अधिकतम लंबाई है।

अतः \(r=3\cos(4\theta)\) में आठ पंखुड़ियाँ हैं और प्रत्येक की अधिकतम त्रिज्या 3 है। 3*cos(4*t) दर्ज करके \(0\le t\le2\pi\) जैसा कोण-अंतराल चुनें।

3. ऋणात्मक त्रिज्या समझें

जब \(r<0\) हो, बिंदु कोण की विपरीत दिशा में अंकित होता है। विशेषतः \((r,\theta)\) और \((-r,\theta+\pi)\) एक ही बिंदु दर्शाते हैं। ऋणात्मक त्रिज्या त्रुटि नहीं है; इसी से कई ध्रुवीय वक्र लूप और एकांतर पंखुड़ियाँ बनाते हैं।

4. आलेखन से पहले सममिति जाँचें

सामान्य सममिति परीक्षण:

• ध्रुवीय अक्ष के सापेक्ष सममिति जाँचने के लिए \(\theta\) को \(-\theta\) से बदलें।
• ऊर्ध्व अक्ष के सापेक्ष सममिति के लिए \(\theta\) को \(\pi-\theta\) से बदलें।
• मूलबिंदु के सापेक्ष सममिति के लिए \(\theta\) को \(\theta+\pi\) से बदलें।

ये परीक्षण अंतिम आकृति का अनुमान लगाने और यह तय करने में सहायक हैं कि छोटा कोण-अंतराल पूरे वक्र का अनुरेखण कर सकता है या नहीं।

5. उदाहरण: आंतरिक लूप वाला लिमासों

\(r=1+2\cos\theta\) आज़माएँ और इसे 1+2*cos(t) के रूप में दर्ज करें। कोसाइन का गुणांक अचर पद से बड़ा है, इसलिए चक्र के कुछ भाग में त्रिज्या ऋणात्मक होकर आंतरिक लूप बनाती है।

6. उपयुक्त दृश्य-विंडो चुनें

अधिकतम त्रिज्या \(R\) वाले वक्र के लिए \([-R,R]\times[-R,R]\) से थोड़ा बड़ा कार्तीय दृश्य-विंडो सामान्यतः उपयुक्त है। अक्षों की मापनी समान रखें, अन्यथा समान पंखुड़ियाँ खिंची हुई दिख सकती हैं।

सामान्य त्रुटियाँ

• ध्रुवीय मोड के बजाय सामान्य फलन मोड का उपयोग करना।
• डिग्री और रेडियन मिलाना।
• सम \(n\) से केवल \(n\) पंखुड़ियाँ बनने की अपेक्षा करना।
• ऋणात्मक त्रिज्या को अमान्य मानना।
• वक्र पूरा करने के लिए बहुत छोटा कोण-अंतराल चुनना।

ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में प्रयोग करें। ध्रुवीय और कार्तीय वर्णनों की तुलना के लिए वृत्त, दीर्घवृत्त और अव्यक्त समीकरण पढ़ें।