Le equazioni parametriche descrivono entrambe le coordinate mediante una terza variabile, di solito \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Sono particolarmente utili per circonferenze, ellissi, cicloidi, cappi e curve difficili o impossibili da esprimere come un’unica funzione \(y=f(x)\).
1. Inizia dalla circonferenza unitaria
La parametrizzazione standard
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
percorre una volta la circonferenza unitaria in senso antiorario, partendo da \((1,0)\). Nella modalità parametrica, inserisci cos(t) per \(x(t)\) e sin(t) per \(y(t)\), quindi imposta l’intervallo del parametro da \(0\) a \(2\pi\).
2. Comprendi il ruolo dell’intervallo del parametro
Le formule da sole non stabiliscono quanta parte della curva viene mostrata. Per la circonferenza:
- \(0\le t\le\pi\) disegna soltanto la semicirconferenza superiore.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) disegna la semicirconferenza destra.
- \(0\le t\le4\pi\) percorre due volte la stessa circonferenza.
Scegli il più piccolo intervallo che rappresenta l’intera curva desiderata senza ripetizioni inutili.
3. Rappresenta un’ellisse
Un’ellisse di centro \((h,k)\), semiasse orizzontale \(a\) e semiasse verticale \(b\) può essere parametrizzata da
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Per un’ellisse di centro \((1,-2)\) e semiassi 3 e 2, inserisci:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Usa la stessa scala sui due assi quando controlli la forma. Una scala diversa sullo schermo può far sembrare ellittica una vera circonferenza.
4. Analizza verso di percorrenza e velocità
Il parametro fornisce più informazioni del solo luogo geometrico. Il vettore velocità è
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Per la circonferenza unitaria, \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). In \(t=0\), il punto è \((1,0)\) e la velocità è diretta verso l’alto, confermando il moto antiorario. Sostituire \(\sin t\) con \(-\sin t\) inverte il verso.
5. Esempio: una curva di Lissajous
Prova
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Inserisci sin(3*t) e sin(2*t). Il rapporto tra le frequenze determina il numero di lobi. Piccole variazioni dei coefficienti possono produrre figure chiuse molto diverse.
6. Evita di perdere dettagli
Curve con oscillazioni rapide o svolte strette richiedono un numero sufficiente di punti di campionamento. Se la curva appare poligonale, presenta lacune o attraversa un cappio, riduci il passo del parametro o aumenta la qualità di rendering, se disponibile. Verifica inoltre che l’intervallo sia espresso in radianti, salvo che lo strumento sia esplicitamente impostato in gradi.
Errori comuni
- Inserire entrambe le formule in un campo standard \(y=f(x)\).
- Usare i gradi quando il grafico richiede radianti.
- Scegliere un intervallo che disegna soltanto una parte della curva.
- Usare scale diverse sugli assi e interpretare male la geometria.
- Ignorare il verso in cui la curva viene percorsa.
Apri la Calcolatrice grafica e confronta gli esempi di circonferenza, ellisse e Lissajous. Per un altro sistema di coordinate, continua con equazioni polari e curve a rosa.