كيفية رسم الدوائر والقطوع الناقصة والمعادلات الضمنية

لا يمكن تمثيل كثير من المنحنيات المهمة عالميًا بدالة واحدة \(y=f(x)\). فالدائرة مثلًا لها قيمتان لـ y عند معظم قيم x. يتيح نمط المعادلات الضمنية رسم علاقة مكتوبة على الصورة

\[F(x,y)=0\]

من غير حل العلاقة كلها بالنسبة إلى متغير واحد.

1. ارسم دائرة

معادلة دائرة مركزها \((h,k)\) ونصف قطرها \(r\) هي

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]

لدائرة مركزها \((2,-1)\) ونصف قطرها 3، استخدم النمط الضمني وأدخل

(x-2)^2+(y+1)^2=9

تترك نافذة مثل \(-2\le x\le6\) و\(-5\le y\le3\) هامشًا كافيًا حول المنحنى.

2. ارسم قطعًا ناقصًا

الصورة القياسية لقطع ناقص موازٍ لمحوري الإحداثيات هي

\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]

أدخل

(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1

لرسم قطع ناقص مركزه \((1,-2)\) ونصف محوره الأفقي 2 ونصف محوره الرأسي 3. رأسا محوره الأكبر هما \((1,-5)\) و\((1,1)\)، ورأسا المحور الأصغر هما \((-1,-2)\) و\((3,-2)\).

3. لماذا يكون الحل بالنسبة إلى y غير ملائم غالبًا

يمكن تقسيم معادلة الدائرة \(x^2+y^2=9\) إلى

\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{و}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]

هذه الطريقة صحيحة، لكنها تحتاج إلى كائني دالة وقيد مجال \(-3\le x\le3\). المعادلة الضمنية أقصر وتحافظ على التماثل تلقائيًا.

4. ارسم منحنيات ضمنية أعم

يمكن للنمط الضمني أيضًا إظهار منحنيات مثل

• \(x^3+y^3=3xy\)، ورقة ديكارت؛
• \(x^2y+y^3=x\)؛
• \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\)، منحنى جبري على شكل قلب.

قد تحتاج المنحنيات الضمنية المعقدة إلى خطوة شبكة أصغر أو إعداد جودة أعلى لإظهار الفروع الضيقة بدقة.

5. ارسم قطعًا مخروطيًا مدورًا

قد تحتوي العلاقة التربيعية العامة على حد \(xy\):

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]

عندما \(B\ne0\) تكون المحاور الرئيسية عادة مدورة بالنسبة إلى محوري الإحداثيات. يتجنب الرسم الضمني الجبر الطويل اللازم للحل بالنسبة إلى y، مع أن التصنيف التحليلي يظل معتمدًا على المعاملات والمميز \(B^2-4AC\).

6. ظلّل داخل القطع المخروطي

استبدل المساواة بمتباينة لوصف منطقة. مثلًا

\[x^2+y^2\le9\]

يمثل القرص المغلق نصف قطره 3. استخدم أداة تظليل الرسوم عندما تحتاج إلى لون أو شفافية أو منطقة تحدها عدة منحنيات.

أخطاء شائعة

• محاولة إدخال دائرة في نمط \(y=f(x)\) العادي.
• نسيان الأقواس حول الإحداثيات المزاحة.
• استخدام مقياسين غير متساويين وقراءة الدائرة على أنها قطع ناقص.
• اختيار نافذة تقص الرؤوس أو المكونات المنفصلة.
• افتراض أن كل منحنى ضمني يجتاز اختبار الخط الرأسي.

افتح حاسبة الرسوم البيانية وقارن التمثيلات الضمنية والوسيطية والصريحة. وللقطوع المخروطية المعتمدة على وسيط راجع المعادلات الوسيطية.