Molte curve importanti non possono essere rappresentate globalmente come un’unica funzione \(y=f(x)\). Una circonferenza, per esempio, possiede due valori di y per la maggior parte dei valori di x. La modalità equazione implicita consente di rappresentare una relazione scritta come
\[F(x,y)=0\]
senza isolare completamente una delle variabili.
1. Rappresenta una circonferenza
Una circonferenza di centro \((h,k)\) e raggio \(r\) ha equazione
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Per una circonferenza di centro \((2,-1)\) e raggio 3, usa la modalità implicita e inserisci
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Una finestra come \(-2\le x\le6\) e \(-5\le y\le3\) lascia margine sufficiente attorno alla curva.
2. Rappresenta un’ellisse
Un’ellisse con assi paralleli agli assi coordinati ha forma canonica
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Inserisci
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
per rappresentare un’ellisse di centro \((1,-2)\), semiasse orizzontale 2 e semiasse verticale 3. I suoi vertici sono \((1,-5)\) e \((1,1)\); gli estremi dell’asse minore sono \((-1,-2)\) e \((3,-2)\).
3. Perché isolare y è spesso scomodo
L’equazione della circonferenza \(x^2+y^2=9\) può essere separata in
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{e}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Il procedimento funziona, ma richiede due oggetti funzione e una restrizione di dominio \(-3\le x\le3\). L’equazione implicita è più breve e conserva automaticamente la simmetria.
4. Rappresenta curve implicite più generali
La modalità implicita può mostrare anche curve come
- \(x^3+y^3=3xy\), il folium di Cartesio;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), una curva algebrica a forma di cuore.
Le curve implicite complesse possono richiedere un passo della griglia più piccolo o una qualità di rendering maggiore per mostrare correttamente i rami sottili.
5. Ruota una conica
Una relazione quadratica generale può contenere un termine \(xy\):
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Quando \(B\ne0\), gli assi principali sono in genere ruotati rispetto agli assi coordinati. Il grafico implicito evita i lunghi calcoli necessari per isolare y, anche se la classificazione analitica dipende ancora dai coefficienti e dal discriminante \(B^2-4AC\).
6. Ombreggia l’interno di una conica
Sostituisci l’uguaglianza con una disequazione per descrivere una regione. Per esempio,
\[x^2+y^2\le9\]
è il disco chiuso di raggio 3. Usa lo strumento Ombreggiatura del grafico quando devi controllare colore, opacità o una regione delimitata da più curve.
Errori comuni
- Tentare di inserire una circonferenza nella modalità ordinaria \(y=f(x)\).
- Dimenticare le parentesi attorno alle coordinate traslate.
- Usare scale diverse sugli assi e scambiare una circonferenza per un’ellisse.
- Scegliere una finestra che taglia vertici o componenti isolate.
- Supporre che ogni curva implicita superi il test della retta verticale.
Apri la Calcolatrice grafica e confronta rappresentazioni implicite, parametriche ed esplicite. Per le coniche basate su parametri, consulta le equazioni parametriche.