Многие важные кривые нельзя глобально представить одной функцией \(y=f(x)\). Например, у окружности для большинства значений x имеются два значения y. Режим неявного уравнения позволяет строить отношение вида
\[F(x,y)=0\]
без полного решения относительно одной переменной.
1. Постройте окружность
Окружность с центром \((h,k)\) и радиусом \(r\) имеет уравнение
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Для окружности с центром \((2,-1)\) и радиусом 3 используйте неявный режим и введите
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Окно \(-2\le x\le6\), \(-5\le y\le3\) оставит достаточный отступ вокруг кривой.
2. Постройте эллипс
Эллипс, оси которого параллельны координатным осям, имеет стандартный вид
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Введите
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
чтобы построить эллипс с центром \((1,-2)\), горизонтальной полуосью 2 и вертикальной полуосью 3. Его вершины — \((1,-5)\) и \((1,1)\), а концы малой оси — \((-1,-2)\) и \((3,-2)\).
3. Почему решение относительно y часто неудобно
Уравнение окружности \(x^2+y^2=9\) можно разделить на
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{и}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Это работает, но требует двух объектов функций и ограничения \(-3\le x\le3\). Неявное уравнение короче и автоматически сохраняет симметрию.
4. Стройте более общие неявные кривые
Неявный режим также отображает кривые, например:
- \(x^3+y^3=3xy\) — лист Декарта;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\) — алгебраическая кривая в форме сердца.
Для сложных неявных кривых может потребоваться меньший шаг сетки или более высокое качество, чтобы узкие ветви отображались точно.
5. Постройте повёрнутую конику
Общее квадратное уравнение может содержать член \(xy\):
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Если \(B\ne0\), главные оси обычно повёрнуты относительно координатных осей. Неявное построение избавляет от громоздкого решения относительно y, хотя аналитическая классификация всё равно зависит от коэффициентов и дискриминанта \(B^2-4AC\).
6. Закрасьте внутреннюю область коники
Замените равенство неравенством, чтобы задать область. Например,
\[x^2+y^2\le9\]
задаёт замкнутый круг радиуса 3. Используйте инструмент заливки графиков, если нужны цвет, прозрачность или область, ограниченная несколькими кривыми.
Типичные ошибки
- Попытка ввести окружность в обычном режиме \(y=f(x)\).
- Отсутствие скобок при сдвиге координат.
- Неравный масштаб осей, из-за которого окружность принимают за эллипс.
- Окно просмотра, обрезающее вершины или изолированные компоненты.
- Предположение, что любая неявная кривая проходит проверку вертикальной прямой.
Откройте графический калькулятор и сравните неявное, параметрическое и явное представления. О кониках через параметр читайте в статье о параметрических уравнениях.