Muitas curvas importantes não podem ser representadas globalmente por uma única função \(y=f(x)\). Uma circunferência, por exemplo, tem dois valores de y para a maioria dos valores de x. O modo de equação implícita permite representar uma relação escrita como
\[F(x,y)=0\]
sem precisar isolar completamente uma das variáveis.
1. Represente uma circunferência
Uma circunferência de centro \((h,k)\) e raio \(r\) tem equação
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Para uma circunferência de centro \((2,-1)\) e raio 3, use o modo implícito e digite
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Uma janela como \(-2\le x\le6\) e \(-5\le y\le3\) deixa margem suficiente ao redor da curva.
2. Represente uma elipse
Uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados tem forma padrão
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Digite
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
para representar uma elipse de centro \((1,-2)\), semieixo horizontal 2 e semieixo vertical 3. Seus vértices são \((1,-5)\) e \((1,1)\); seus co-vértices são \((-1,-2)\) e \((3,-2)\).
3. Por que isolar y costuma ser inconveniente
A equação da circunferência \(x^2+y^2=9\) pode ser separada em
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{e}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Isso funciona, mas exige dois objetos de função e uma restrição de domínio \(-3\le x\le3\). A equação implícita é mais curta e preserva automaticamente a simetria.
4. Represente curvas implícitas mais gerais
O modo implícito também pode mostrar curvas como
- \(x^3+y^3=3xy\), o fólio de Descartes;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), uma curva algébrica em forma de coração.
Curvas implícitas complexas podem precisar de um passo de grade menor ou de uma configuração de qualidade superior para mostrar corretamente ramos estreitos.
5. Gire uma cônica
Uma relação quadrática geral pode conter um termo \(xy\):
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Quando \(B\ne0\), os eixos principais costumam estar girados em relação aos eixos coordenados. A representação implícita evita a álgebra longa necessária para isolar y, embora a classificação analítica ainda dependa dos coeficientes e do discriminante \(B^2-4AC\).
6. Sombreie o interior de uma cônica
Substitua a igualdade por uma desigualdade para descrever uma região. Por exemplo,
\[x^2+y^2\le9\]
é o disco fechado de raio 3. Use a ferramenta de Sombreamento de Gráficos quando precisar controlar cor, opacidade ou uma região limitada por várias curvas.
Erros comuns
- Tentar inserir uma circunferência no modo comum \(y=f(x)\).
- Esquecer parênteses nas coordenadas transladadas.
- Usar escalas diferentes nos eixos e interpretar uma circunferência como elipse.
- Escolher uma janela que corte vértices ou componentes isolados.
- Supor que toda curva implícita passa no teste da reta vertical.
Abra a Calculadora Gráfica e compare representações implícitas, paramétricas e explícitas. Para cônicas baseadas em parâmetros, consulte equações paramétricas.