切線在某一點附近給出光滑曲線的線性近似，它的斜率就是該點處的導數。法線透過同一點，並且與切線垂直。
1. 切線公式
對於 \(y=f(x)\) 在 \(x=a\) 處的切線，切點為 \((a,f(a))\)，切線斜率為 \(f'(a)\)。由點斜式可得
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. 計算範例：拋物線的切線
設 \(f(x)=x^2\)，求 \(x=1\) 處的切線。
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
因此
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
繪製 x^2 和 2*x-1。直線應在 \((1,1)\) 處與拋物線相切，並與曲線在該點附近具有相同的方向。
3. 法線公式
如果切線斜率 \(m_t\) 不為零，法線斜率是其負倒數：
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
在本例中，\(m_n=-1/2\)，所以
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
輸入 -x/2+3/2 即可驗證法線。
4. 水平與垂直的特殊情況
- 若 \(f'(a)=0\)，切線為水平直線 \(y=f(a)\)，法線為垂直直線 \(x=a\)。
- 如果曲線具有垂直切線，則法線為水平直線。
- 在尖角或尖點處，普通導數可能不存在，因此唯一切線也可能不存在。
5. 隱式曲線的切線
對於隱式關係 \(F(x,y)=0\)，隱函數求導通常可得
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
前提是 \(F_y\ne0\)。對於圓 \(x^2+y^2=25\)，
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
在 \((3,4)\) 處，切線斜率為 \(-3/4\)，法線斜率為 \(4/3\)。
6. 局部線性近似
切線還給出了線性化公式
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
它適用於 x 接近 a 的情況。對於 \(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \(a=4\) 附近，
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
由此可估算 \(\sqrt{4.1}\approx2.025\)。
常見錯誤
- 直接使用 \(f'(x)\)，而沒有代入求出 \(f'(a)\)。
- 把切點寫成 \((a,f'(a))\)，而不是 \((a,f(a))\)。
- 計算法線斜率時忘記負號。
- 切線水平或垂直時仍機械使用負倒數規則。
- 只憑視覺判斷相切，而沒有用導數檢驗。
開啟繪圖計算機，並在可用時使用函數分析功能。接下來可學習曲線的凹向性與反曲點。