แคลคูลัสและการวิเคราะห์ฟังก์ชัน

วิธีหาเส้นสัมผัสและเส้นปกติของเส้นโค้ง

August 2, 2026 onlinegraphing.com

เส้นสัมผัสใช้ประมาณเส้นโค้งเรียบในบริเวณใกล้จุดหนึ่ง ความชันของเส้นสัมผัสคือค่าอนุพันธ์ ส่วนเส้นปกติผ่านจุดเดียวกันและตั้งฉากกับเส้นสัมผัส

1. สูตรเส้นสัมผัส

สำหรับ \(y=f(x)\) ที่ \(x=a\) จุดคือ \((a,f(a))\) และความชันของเส้นสัมผัสคือ \(f'(a)\) รูปจุด-ความชันจึงให้

\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]

ให้ \(f(x)=x^2\) และหาเส้นสัมผัสที่ \(x=1\)

\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]

ดังนั้น

\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]

วาด x^2 และ 2*x-1 เส้นตรงควรสัมผัสพาราโบลาที่ \((1,1)\) และมีทิศทางเฉพาะที่เหมือนกัน

ถ้าความชันเส้นสัมผัส \(m_t\) ไม่เป็นศูนย์ ความชันของเส้นปกติคือส่วนกลับที่มีเครื่องหมายตรงข้าม:

\[m_n=-\frac1{m_t}.\]

สำหรับตัวอย่างนี้ \(m_n=-1/2\) ดังนั้น

\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]

ป้อน -x/2+3/2 เพื่อตรวจสอบเส้นปกติ

ถ้า \(f'(a)=0\) เส้นสัมผัสเป็นแนวนอน: \(y=f(a)\) และเส้นปกติเป็นแนวตั้ง: \(x=a\)
ถ้าเส้นโค้งมีเส้นสัมผัสแนวตั้ง เส้นปกติจะเป็นแนวนอน
ที่มุมหรือจุดแหลม อนุพันธ์ปกติอาจไม่มีค่า จึงอาจไม่มีเส้นสัมผัสเพียงเส้นเดียว

สำหรับความสัมพันธ์โดยปริยาย \(F(x,y)=0\) การหาอนุพันธ์โดยปริยายมักให้

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]

เมื่อ \(F_y\ne0\) สำหรับวงกลม \(x^2+y^2=25\),

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]

ที่ \((3,4)\) ความชันเส้นสัมผัสเท่ากับ \(-3/4\) และความชันเส้นปกติเท่ากับ \(4/3\)

เส้นสัมผัสยังให้การทำให้เป็นเชิงเส้น

\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]

สำหรับ x ที่อยู่ใกล้ a เมื่อ \(f(x)=\sqrt{x}\) ใกล้ \(a=4\),

\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]

จึงประมาณได้ว่า \(\sqrt{4.1}\approx2.025\)

เปิด เครื่องคำนวณกราฟ และใช้เครื่องมือวิเคราะห์เมื่อมีให้ใช้งาน จากนั้นอ่านต่อเรื่อง ความเว้าและจุดเปลี่ยนเว้า