Tiếp tuyến xấp xỉ một đường cong trơn ở gần một điểm. Hệ số góc của nó là đạo hàm. Pháp tuyến đi qua cùng điểm và vuông góc với tiếp tuyến.
1. Công thức tiếp tuyến
Với \(y=f(x)\) tại \(x=a\), điểm tiếp xúc là \((a,f(a))\) và hệ số góc tiếp tuyến là \(f'(a)\). Dạng điểm–hệ số góc cho
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Ví dụ: tiếp tuyến của parabol
Cho \(f(x)=x^2\) và tìm tiếp tuyến tại \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Do đó
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Vẽ x^2 và 2*x-1. Đường thẳng phải tiếp xúc với parabol tại \((1,1)\) và có cùng hướng cục bộ.
3. Công thức pháp tuyến
Nếu hệ số góc tiếp tuyến \(m_t\) khác 0, hệ số góc pháp tuyến là số đối của nghịch đảo:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Trong ví dụ trên, \(m_n=-1/2\). Vì vậy
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Nhập -x/2+3/2 để kiểm tra pháp tuyến.
4. Các trường hợp đặc biệt ngang và đứng
- Nếu \(f'(a)=0\), tiếp tuyến nằm ngang: \(y=f(a)\). Pháp tuyến thẳng đứng: \(x=a\).
- Nếu đường cong có tiếp tuyến thẳng đứng thì pháp tuyến nằm ngang.
- Tại điểm góc hoặc điểm nhọn, đạo hàm thông thường có thể không tồn tại, nên có thể không có một tiếp tuyến duy nhất.
5. Tiếp tuyến của đường cong ẩn
Với quan hệ ẩn \(F(x,y)=0\), phép vi phân ẩn thường cho
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
miễn là \(F_y\ne0\). Với đường tròn \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
Tại \((3,4)\), hệ số góc tiếp tuyến bằng \(-3/4\) và hệ số góc pháp tuyến bằng \(4/3\).
6. Xấp xỉ tuyến tính cục bộ
Tiếp tuyến còn cho phép tuyến tính hóa
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
khi x gần a. Với \(f(x)=\sqrt{x}\) gần \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Từ đó ước lượng \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Lỗi thường gặp
- Dùng \(f'(x)\) mà không thay x = a để tính \(f'(a)\).
- Dùng điểm \((a,f'(a))\) thay cho \((a,f(a))\).
- Quên dấu âm trong hệ số góc pháp tuyến.
- Áp dụng quy tắc nghịch đảo khi tiếp tuyến ngang hoặc đứng.
- Tin vào tiếp tuyến nhìn bằng mắt mà không kiểm tra đạo hàm.
Mở Máy tính vẽ đồ thị và dùng các công cụ phân tích khi có. Hãy đọc tiếp độ lõm và điểm uốn.