접선은 한 점 근처에서 매끄러운 곡선을 직선으로 근사합니다. 접선의 기울기는 도함수입니다. 법선은 같은 점을 지나며 접선에 수직인 직선입니다.
1. 접선 공식
\(y=f(x)\)에서 \(x=a\)일 때 점은 \((a,f(a))\)이고 접선의 기울기는 \(f'(a)\)입니다. 점기울기식은
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. 예제: 포물선의 접선
\(f(x)=x^2\)에서 \(x=1\)일 때 접선을 구합니다.
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
따라서
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
x^2와 2*x-1을 그립니다. 직선은 \((1,1)\)에서 포물선에 닿고 그 근처에서 같은 방향을 가져야 합니다.
3. 법선 공식
접선 기울기 \(m_t\)가 0이 아니면 법선 기울기는 음의 역수입니다.
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
이 예에서는 \(m_n=-1/2\)이므로
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
-x/2+3/2를 입력하여 법선을 확인합니다.
4. 수평과 수직인 특별한 경우
- \(f'(a)=0\)이면 접선은 수평인 \(y=f(a)\)이고 법선은 수직인 \(x=a\)입니다.
- 곡선에 수직접선이 있으면 법선은 수평입니다.
- 모서리나 뾰족점에서는 일반적인 도함수가 존재하지 않아 유일한 접선이 없을 수 있습니다.
5. 음함수 곡선의 접선
음함수 관계 \(F(x,y)=0\)에서는 음함수 미분으로 흔히
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
를 얻습니다. 단, \(F_y\ne0\)입니다. 원 \(x^2+y^2=25\)에서는
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
\((3,4)\)에서 접선 기울기는 \(-3/4\), 법선 기울기는 \(4/3\)입니다.
6. 국소 선형 근사
접선은 x가 a에 가까울 때의 선형화
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
도 제공합니다. \(f(x)=\sqrt{x}\)를 \(a=4\) 근처에서 생각하면
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
따라서 \(\sqrt{4.1}\approx2.025\)로 추정할 수 있습니다.
자주 하는 실수
- \(f'(x)\)에 값을 대입해 \(f'(a)\)를 구하지 않고 그대로 사용하는 것.
- \((a,f'(a))\)를 사용하고 올바른 점 \((a,f(a))\)를 사용하지 않는 것.
- 법선 기울기의 음수 부호를 잊는 것.
- 접선이 수평 또는 수직일 때도 역수 공식을 적용하는 것.
- 도함수를 확인하지 않고 눈으로 보이는 접선만 믿는 것.
그래프 계산기를 열고 사용할 수 있다면 분석 도구도 이용하십시오. 다음은 오목·볼록과 변곡점입니다.