Teğet doğru, düzgün bir eğriyi bir noktanın yakınında yaklaşık olarak temsil eder. Eğimi türeve eşittir. Normal doğru aynı noktadan geçer ve teğete diktir.
1. Teğet doğru formülü
\(y=f(x)\) eğrisinde \(x=a\) için nokta \((a,f(a))\), teğetin eğimi ise \(f'(a)\) olur. Nokta-eğim biçimi
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
eşitliğini verir.
2. Çözümlü örnek: parabole teğet
\(f(x)=x^2\) olsun ve \(x=1\) noktasındaki teğeti bulalım.
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Buna göre
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
x^2 ve 2*x-1 grafiklerini çizin. Doğru, parabole \((1,1)\) noktasında dokunmalı ve aynı yerel yönü taşımalıdır.
3. Normal doğru formülü
Teğetin eğimi \(m_t\) sıfırdan farklıysa normalin eğimi negatif tersidir:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Örnekte \(m_n=-1/2\) olur. Dolayısıyla
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Normal doğruyu doğrulamak için -x/2+3/2 yazın.
4. Yatay ve düşey özel durumlar
- \(f'(a)=0\) ise teğet yataydır: \(y=f(a)\). Normal düşeydir: \(x=a\).
- Eğrinin düşey teğeti varsa normal yataydır.
- Köşe veya sivri uçta sıradan türev olmayabilir; bu durumda tek bir teğet doğru bulunmayabilir.
5. Örtük eğriye teğet
\(F(x,y)=0\) örtük bağıntısı için örtük türev alma çoğu zaman
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
sonucunu verir; burada \(F_y\ne0\) olmalıdır. \(x^2+y^2=25\) çemberi için
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
\((3,4)\) noktasında teğetin eğimi \(-3/4\), normalin eğimi \(4/3\) olur.
6. Yerel doğrusal yaklaşım
Teğet doğru aynı zamanda
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
doğrusallaştırmasını verir. Bu yaklaşım x, a’ya yakınken geçerlidir. \(f(x)=\sqrt{x}\) fonksiyonu için \(a=4\) yakınında
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
olur. Böylece \(\sqrt{4.1}\approx2.025\) bulunur.
Yaygın hatalar
- \(f'(x)\) ifadesini, \(f'(a)\) değerinde hesaplamadan kullanmak.
- \((a,f'(a))\) noktasını, \((a,f(a))\) yerine kullanmak.
- Normal eğimindeki eksi işaretini unutmak.
- Teğet yatay veya düşeyken ters eğim kuralını doğrudan uygulamak.
- Türevi denetlemeden yalnızca görsel teğete güvenmek.
Grafik Hesap Makinesini açın ve varsa analiz araçlarını kullanın. Ardından konkavlık ve büküm noktalarına geçin.