De raaklijn benadert een gladde kromme nabij een punt. Haar helling is de afgeleide. De normaal gaat door hetzelfde punt en staat loodrecht op de raaklijn.
1. Formule van de raaklijn
Voor \(y=f(x)\) bij \(x=a\) is het punt \((a,f(a))\) en de helling van de raaklijn \(f'(a)\). De punt-hellingvorm geeft
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Uitgewerkt voorbeeld: raaklijn aan een parabool
Neem \(f(x)=x^2\) en bepaal de raaklijn bij \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Daarom
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Teken x^2 en 2*x-1. De rechte moet de parabool raken in \((1,1)\) en lokaal dezelfde richting hebben.
3. Formule van de normaal
Als de raaklijnhelling \(m_t\) niet nul is, is de normaalhelling de negatieve reciproke:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Voor het voorbeeld geldt \(m_n=-1/2\). Dus
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Voer -x/2+3/2 in om de normaal te controleren.
4. Bijzondere gevallen: horizontaal en verticaal
- Als \(f'(a)=0\), is de raaklijn horizontaal: \(y=f(a)\). De normaal is verticaal: \(x=a\).
- Als de kromme een verticale raaklijn heeft, is de normaal horizontaal.
- Bij een hoekpunt of spitspunt kan een gewone afgeleide ontbreken, zodat er mogelijk geen unieke raaklijn bestaat.
5. Raaklijn aan een impliciete kromme
Voor een impliciete relatie \(F(x,y)=0\) geeft impliciet differentiëren vaak
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
op voorwaarde dat \(F_y\ne0\). Voor de cirkel \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
In \((3,4)\) is de raaklijnhelling \(-3/4\) en de normaalhelling \(4/3\).
6. Lokale lineaire benadering
De raaklijn geeft ook de linearisatie
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
voor x dicht bij a. Voor \(f(x)=\sqrt{x}\) nabij \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Hiermee volgt de schatting \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Veelgemaakte fouten
- \(f'(x)\) gebruiken in plaats van \(f'(a)\) te berekenen.
- Het punt \((a,f'(a))\) gebruiken in plaats van \((a,f(a))\).
- Het minteken in de normaalhelling vergeten.
- De reciproke regel toepassen wanneer de raaklijn horizontaal of verticaal is.
- Een visuele raaklijn vertrouwen zonder de afgeleide te controleren.
Open de grafische rekenmachine en gebruik waar beschikbaar de analysehulpmiddelen. Ga verder met holheid, bolheid en buigpunten.