A reta tangente aproxima uma curva suave nas proximidades de um ponto. Sua inclinação é dada pela derivada. A reta normal passa pelo mesmo ponto e é perpendicular à tangente.
1. Fórmula da reta tangente
Para \(y=f(x)\) em \(x=a\), o ponto é \((a,f(a))\) e a inclinação da tangente é \(f'(a)\). A forma ponto-inclinação fornece
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Exemplo resolvido: tangente a uma parábola
Seja \(f(x)=x^2\) e encontre a tangente em \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Portanto,
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Represente x^2 e 2*x-1. A reta deve tocar a parábola em \((1,1)\) e ter a mesma direção local.
3. Fórmula da reta normal
Se a inclinação da tangente \(m_t\) é diferente de zero, a inclinação da normal é o oposto do inverso:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
No exemplo, \(m_n=-1/2\). Assim,
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Digite -x/2+3/2 para verificar a reta normal.
4. Casos especiais horizontal e vertical
- Se \(f'(a)=0\), a tangente é horizontal: \(y=f(a)\). A normal é vertical: \(x=a\).
- Se a curva tem tangente vertical, a normal é horizontal.
- Em um ponto anguloso ou cúspide, a derivada comum pode não existir e pode não haver uma única reta tangente.
5. Tangente a uma curva implícita
Para uma relação implícita \(F(x,y)=0\), a derivação implícita geralmente fornece
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
desde que \(F_y\ne0\). Para a circunferência \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
Em \((3,4)\), a inclinação da tangente é \(-3/4\) e a inclinação da normal é \(4/3\).
6. Aproximação linear local
A reta tangente também fornece a linearização
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
para x próximo de a. Para \(f(x)=\sqrt{x}\) perto de \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Isso estima \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Erros comuns
- Usar \(f'(x)\) sem calcular \(f'(a)\).
- Usar o ponto \((a,f'(a))\) em vez de \((a,f(a))\).
- Esquecer o sinal negativo na inclinação da normal.
- Aplicar a regra do inverso quando a tangente é horizontal ou vertical.
- Confiar em uma tangente visual sem conferir a derivada.
Abra a Calculadora Gráfica e use as ferramentas de análise disponíveis. Continue com concavidade e pontos de inflexão.