Styczna przybliża gładką krzywą w pobliżu punktu. Jej współczynnik kierunkowy jest pochodną. Normalna przechodzi przez ten sam punkt i jest prostopadła do stycznej.
1. Wzór stycznej
Dla \(y=f(x)\) przy \(x=a\) punkt ma współrzędne \((a,f(a))\), a współczynnik kierunkowy stycznej wynosi \(f'(a)\). Postać punkt–nachylenie daje
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Przykład: styczna do paraboli
Niech \(f(x)=x^2\). Wyznaczmy styczną dla \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Zatem
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Narysuj x^2 oraz 2*x-1. Prosta powinna dotykać paraboli w \((1,1)\) i mieć ten sam lokalny kierunek.
3. Wzór normalnej
Jeżeli współczynnik kierunkowy stycznej \(m_t\) jest różny od zera, współczynnik kierunkowy normalnej jest przeciwną odwrotnością:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
W przykładzie \(m_n=-1/2\). Zatem
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Wpisz -x/2+3/2, aby sprawdzić normalną.
4. Szczególne przypadki poziome i pionowe
- Jeżeli \(f'(a)=0\), styczna jest pozioma: \(y=f(a)\). Normalna jest pionowa: \(x=a\).
- Jeżeli krzywa ma styczną pionową, normalna jest pozioma.
- W punkcie narożnym lub ostrzu zwykła pochodna może nie istnieć, więc jednoznaczna styczna może nie istnieć.
5. Styczna do krzywej uwikłanej
Dla relacji uwikłanej \(F(x,y)=0\) różniczkowanie uwikłane często daje
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
o ile \(F_y\ne0\). Dla okręgu \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
W punkcie \((3,4)\) współczynnik stycznej wynosi \(-3/4\), a normalnej \(4/3\).
6. Lokalne przybliżenie liniowe
Styczna daje również linearyzację
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
dla x bliskich a. Dla \(f(x)=\sqrt{x}\) w pobliżu \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Daje to oszacowanie \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Najczęstsze błędy
- Używanie \(f'(x)\) zamiast obliczenia \(f'(a)\).
- Używanie punktu \((a,f'(a))\) zamiast \((a,f(a))\).
- Pominięcie minusa we współczynniku kierunkowym normalnej.
- Stosowanie reguły odwrotności dla stycznej poziomej lub pionowej.
- Ufanie wizualnej stycznej bez sprawdzenia pochodnej.
Otwórz kalkulator graficzny i skorzystaj z narzędzi analizy, jeśli są dostępne. Następnie przejdź do wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia.