Die Tangente nähert eine glatte Kurve in der Umgebung eines Punkts an. Ihre Steigung ist die Ableitung. Die Normale verläuft durch denselben Punkt und steht senkrecht auf der Tangente.
1. Formel der Tangente
Für \(y=f(x)\) an der Stelle \(x=a\) ist der Punkt \((a,f(a))\) und die Tangentensteigung \(f'(a)\). Die Punkt-Steigungs-Form liefert
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Beispiel: Tangente an eine Parabel
Sei \(f(x)=x^2\). Gesucht ist die Tangente bei \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Daher gilt
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Zeichnen Sie x^2 und 2*x-1. Die Gerade sollte die Parabel bei \((1,1)\) berühren und dort dieselbe lokale Richtung besitzen.
3. Formel der Normalen
Ist die Tangentensteigung \(m_t\) ungleich null, so ist die Normalensteigung der negative Kehrwert:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Im Beispiel ist \(m_n=-1/2\). Somit gilt
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Geben Sie -x/2+3/2 ein, um die Normale zu überprüfen.
4. Waagerechte und senkrechte Sonderfälle
- Wenn \(f'(a)=0\), ist die Tangente waagerecht: \(y=f(a)\). Die Normale ist senkrecht: \(x=a\).
- Besitzt die Kurve eine senkrechte Tangente, ist die Normale waagerecht.
- An einer Ecke oder Spitze existiert möglicherweise keine gewöhnliche Ableitung und damit keine eindeutige Tangente.
5. Tangente an eine implizite Kurve
Für eine implizite Relation \(F(x,y)=0\) liefert implizites Differenzieren häufig
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
sofern \(F_y\ne0\). Für den Kreis \(x^2+y^2=25\) gilt
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
Im Punkt \((3,4)\) ist die Tangentensteigung \(-3/4\) und die Normalensteigung \(4/3\).
6. Lokale lineare Näherung
Die Tangente liefert zugleich die Linearisierung
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
für x in der Nähe von a. Für \(f(x)=\sqrt{x}\) nahe \(a=4\) gilt
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Damit erhält man die Näherung \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Häufige Fehler
- \(f'(x)\) verwenden, ohne \(f'(a)\) auszuwerten.
- Den Punkt \((a,f'(a))\) statt \((a,f(a))\) verwenden.
- Das Minuszeichen bei der Normalensteigung vergessen.
- Die Kehrwertregel anwenden, wenn die Tangente waagerecht oder senkrecht ist.
- Einer optisch passend wirkenden Tangente vertrauen, ohne die Ableitung zu prüfen.
Öffnen Sie den Grafikrechner und verwenden Sie, sofern verfügbar, dessen Analysewerkzeuge. Fahren Sie mit Krümmungsverhalten und Wendepunkten fort.