La retta tangente approssima una curva regolare vicino a un punto. La sua pendenza è la derivata. La retta normale passa per lo stesso punto ed è perpendicolare alla tangente.
1. Formula della retta tangente
Per \(y=f(x)\) in \(x=a\), il punto è \((a,f(a))\) e la pendenza della tangente è \(f'(a)\). La forma punto-pendenza dà
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Esempio svolto: tangente a una parabola
Sia \(f(x)=x^2\) e troviamo la tangente in \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Quindi
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Rappresenta x^2 e 2*x-1. La retta deve toccare la parabola in \((1,1)\) e avere la stessa direzione locale.
3. Formula della retta normale
Se la pendenza della tangente \(m_t\) è diversa da zero, la pendenza della normale è l’opposto del reciproco:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Nell’esempio, \(m_n=-1/2\). Pertanto
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Inserisci -x/2+3/2 per verificare la retta normale.
4. Casi particolari orizzontale e verticale
- Se \(f'(a)=0\), la tangente è orizzontale: \(y=f(a)\). La normale è verticale: \(x=a\).
- Se la curva ha una tangente verticale, la normale è orizzontale.
- In un punto angoloso o in una cuspide, la derivata ordinaria può non esistere e può mancare una tangente unica.
5. Tangente a una curva implicita
Per una relazione implicita \(F(x,y)=0\), la derivazione implicita fornisce spesso
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
purché \(F_y\ne0\). Per la circonferenza \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
In \((3,4)\), la pendenza della tangente è \(-3/4\) e quella della normale è \(4/3\).
6. Approssimazione lineare locale
La retta tangente fornisce anche la linearizzazione
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
per x vicino ad a. Per \(f(x)=\sqrt{x}\) vicino a \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Questo dà la stima \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Errori comuni
- Usare \(f'(x)\) senza calcolare \(f'(a)\).
- Usare il punto \((a,f'(a))\) invece di \((a,f(a))\).
- Dimenticare il segno negativo nella pendenza della normale.
- Applicare la regola del reciproco quando la tangente è orizzontale o verticale.
- Fidarsi di una tangente visiva senza controllare la derivata.
Apri la Calcolatrice grafica e usa gli strumenti di analisi disponibili. Continua con concavità e punti di flesso.