वक्र की स्पर्श रेखा और अभिलंब रेखा कैसे ज्ञात करें

स्पर्श रेखा किसी बिंदु के निकट चिकने वक्र का रैखिक सन्निकटन करती है। उसकी ढाल अवकलज है। अभिलंब रेखा उसी बिंदु से गुजरती है और स्पर्श रेखा पर लंब होती है।

1. स्पर्श रेखा का सूत्र

\(y=f(x)\) के लिए \(x=a\) पर बिंदु \((a,f(a))\) और स्पर्श ढाल \(f'(a)\) है। बिंदु–ढाल रूप देता है

\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]

2. उदाहरण: परवलय की स्पर्श रेखा

\(f(x)=x^2\) लें और \(x=1\) पर स्पर्श रेखा ज्ञात करें।

\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]

अतः

\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]

x^2 और 2*x-1 का आलेख बनाएँ। रेखा को \((1,1)\) पर परवलय को छूना और वहीं समान स्थानीय दिशा रखनी चाहिए।

3. अभिलंब रेखा का सूत्र

यदि स्पर्श ढाल \(m_t\) शून्य नहीं है, तो अभिलंब ढाल ऋणात्मक व्युत्क्रम है:

\[m_n=-\frac1{m_t}.\]

उदाहरण में \(m_n=-1/2\)। इसलिए

\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]

अभिलंब रेखा सत्यापित करने के लिए -x/2+3/2 दर्ज करें।

4. क्षैतिज और ऊर्ध्व विशेष स्थितियाँ

• यदि \(f'(a)=0\), तो स्पर्श रेखा क्षैतिज है: \(y=f(a)\)। अभिलंब ऊर्ध्व है: \(x=a\)।
• यदि वक्र की स्पर्श रेखा ऊर्ध्व है, तो अभिलंब क्षैतिज होगा।
• कोणीय बिंदु या नोक पर सामान्य अवकलज न भी हो सकता है, इसलिए अद्वितीय स्पर्श रेखा का अस्तित्व आवश्यक नहीं।

5. अव्यक्त वक्र की स्पर्श रेखा

अव्यक्त संबंध \(F(x,y)=0\) के लिए अव्यक्त अवकलन प्रायः देता है

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]

बशर्ते \(F_y\ne0\)। वृत्त \(x^2+y^2=25\) के लिए

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]

\((3,4)\) पर स्पर्श ढाल \(-3/4\) और अभिलंब ढाल \(4/3\) है।

6. स्थानीय रैखिक सन्निकटन

स्पर्श रेखा रैखिकीकरण भी देती है

\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]

जब x, a के निकट हो। \(f(x)=\sqrt{x}\) के लिए \(a=4\) के निकट

\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]

इससे \(\sqrt{4.1}\approx2.025\) मिलता है।

सामान्य त्रुटियाँ

• \(f'(x)\) को \(f'(a)\) पर मानांकित किए बिना उपयोग करना।
• \((a,f'(a))\) बिंदु लेना, जबकि सही बिंदु \((a,f(a))\) है।
• अभिलंब ढाल में ऋण चिह्न भूलना।
• स्पर्श रेखा क्षैतिज या ऊर्ध्व होने पर व्युत्क्रम नियम लगाना।
• अवकलज जाँचे बिना केवल दृश्य स्पर्श पर विश्वास करना।

ग्राफ़िंग कैलकुलेटर खोलें और उपलब्ध विश्लेषण उपकरणों का उपयोग करें। आगे उन्नतोदरता, अवतलता और नति परिवर्तन बिंदु पढ़ें।