يقارب خط المماس منحنى أملس قرب نقطة، وميله هو المشتقة. أما المستقيم الناظم فيمر بالنقطة نفسها ويكون عموديًا على المماس.
1. صيغة خط المماس
للدالة \(y=f(x)\) عند \(x=a\) تكون النقطة \((a,f(a))\) وميل المماس \(f'(a)\). وتعطي صيغة النقطة والميل
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. مثال محلول: مماس قطع مكافئ
لتكن \(f(x)=x^2\)، ولنوجد المماس عند \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
إذن
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
ارسم x^2 و2*x-1. يجب أن يمس المستقيم القطع المكافئ عند \((1,1)\) وأن يكون له الاتجاه المحلي نفسه.
3. صيغة المستقيم الناظم
إذا كان ميل المماس \(m_t\) غير صفري، فميل العمودي هو المقلوب السالب:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
في المثال \(m_n=-1/2\). ومن ثم
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
أدخل -x/2+3/2 للتحقق من المستقيم الناظم.
4. الحالات الخاصة الأفقية والرأسية
- إذا كان \(f'(a)=0\)، فالمماس أفقي: \(y=f(a)\)، والعمودي رأسي: \(x=a\).
- إذا كان للمنحنى مماس رأسي، فالمستقيم الناظم أفقي.
- عند زاوية أو رأس حاد قد لا توجد مشتقة عادية، وقد لا يوجد مماس وحيد.
5. مماس منحنى ضمني
للعلاقة الضمنية \(F(x,y)=0\) يعطي الاشتقاق الضمني غالبًا
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
بشرط \(F_y\ne0\). للدائرة \(x^2+y^2=25\):
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
عند \((3,4)\) يكون ميل المماس \(-3/4\) وميل العمودي \(4/3\).
6. التقريب الخطي المحلي
يعطي المماس أيضًا التقريب الخطي
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
عندما تكون x قريبة من a. للدالة \(f(x)=\sqrt{x}\) قرب \(a=4\):
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
ومن ذلك \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
أخطاء شائعة
- استخدام \(f'(x)\) بدل تقييم \(f'(a)\).
- استخدام النقطة \((a,f'(a))\) بدل \((a,f(a))\).
- نسيان الإشارة السالبة في ميل العمودي.
- تطبيق قاعدة المقلوب عندما يكون المماس أفقيًا أو رأسيًا.
- الثقة بمماس مرئي من غير فحص المشتقة.
افتح حاسبة الرسوم البيانية واستخدم أدوات التحليل المتاحة. ثم تابع إلى التقعر ونقاط الانعطاف.