La recta tangente aproxima una curva suave cerca de un punto. Su pendiente es la derivada. La recta normal pasa por el mismo punto y es perpendicular a la tangente.
1. Fórmula de la recta tangente
Para \(y=f(x)\) en \(x=a\), el punto es \((a,f(a))\) y la pendiente de la tangente es \(f'(a)\). La forma punto-pendiente da
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Ejemplo resuelto: tangente a una parábola
Sea \(f(x)=x^2\) y hallemos la tangente en \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Por tanto,
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Grafica x^2 y 2*x-1. La recta debe tocar la parábola en \((1,1)\) y tener allí la misma dirección local.
3. Fórmula de la recta normal
Si la pendiente de la tangente \(m_t\) no es cero, la pendiente de la normal es la recíproca cambiada de signo:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
En el ejemplo, \(m_n=-1/2\). Por tanto,
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Introduce -x/2+3/2 para comprobar la recta normal.
4. Casos especiales horizontales y verticales
- Si \(f'(a)=0\), la tangente es horizontal: \(y=f(a)\). La normal es vertical: \(x=a\).
- Si la curva tiene una tangente vertical, la normal es horizontal.
- En una esquina o cúspide, puede no existir una derivada ordinaria y, por tanto, puede no existir una única recta tangente.
5. Tangente a una curva implícita
Para una relación implícita \(F(x,y)=0\), la derivación implícita suele dar
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
siempre que \(F_y\ne0\). Para la circunferencia \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
En \((3,4)\), la pendiente de la tangente es \(-3/4\) y la de la normal es \(4/3\).
6. Aproximación lineal local
La recta tangente también proporciona la linealización
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
para x próximo a a. Para \(f(x)=\sqrt{x}\) cerca de \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Así se estima \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Errores frecuentes
- Usar \(f'(x)\) sin evaluar \(f'(a)\).
- Usar el punto \((a,f'(a))\) en lugar de \((a,f(a))\).
- Olvidar el signo negativo en la pendiente de la normal.
- Aplicar la regla de la recíproca cuando la tangente es horizontal o vertical.
- Confiar en una tangente visual sin comprobar la derivada.
Abre la calculadora gráfica y utiliza sus herramientas de análisis cuando estén disponibles. Continúa con la concavidad y los puntos de inflexión.