La tangente approxime une courbe lisse au voisinage d’un point. Sa pente est donnée par la dérivée. La normale passe par le même point et est perpendiculaire à la tangente.
1. Formule de la tangente
Pour \(y=f(x)\) au point d’abscisse \(x=a\), le point est \((a,f(a))\) et la pente de la tangente vaut \(f'(a)\). La forme point-pente donne
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Exemple : tangente à une parabole
Soit \(f(x)=x^2\). Cherchons la tangente en \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Donc
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Tracez x^2 et 2*x-1. La droite doit toucher la parabole en \((1,1)\) et présenter la même direction locale.
3. Formule de la normale
Si la pente de la tangente \(m_t\) est non nulle, la pente de la normale est l’opposé de son inverse :
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Dans l’exemple, \(m_n=-1/2\). Ainsi
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Saisissez -x/2+3/2 pour vérifier la normale.
4. Cas particuliers horizontaux et verticaux
- Si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale : \(y=f(a)\). La normale est verticale : \(x=a\).
- Si la courbe a une tangente verticale, la normale est horizontale.
- En un point anguleux ou en une pointe, la dérivée ordinaire peut ne pas exister ; il peut alors ne pas y avoir de tangente unique.
5. Tangente à une courbe implicite
Pour une relation implicite \(F(x,y)=0\), la dérivation implicite donne souvent
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
à condition que \(F_y\ne0\). Pour le cercle \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
Au point \((3,4)\), la pente de la tangente vaut \(-3/4\) et celle de la normale vaut \(4/3\).
6. Approximation linéaire locale
La tangente fournit aussi la linéarisation
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
pour x proche de a. Pour \(f(x)=\sqrt{x}\) près de \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
On obtient ainsi \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Erreurs fréquentes
- Utiliser \(f'(x)\) sans calculer \(f'(a)\).
- Employer le point \((a,f'(a))\) au lieu de \((a,f(a))\).
- Oublier le signe négatif dans la pente de la normale.
- Appliquer la règle de l’inverse lorsque la tangente est horizontale ou verticale.
- Se fier à une tangente visuelle sans vérifier la dérivée.
Ouvrez la calculatrice graphique et utilisez ses outils d’analyse lorsqu’ils sont disponibles. Continuez avec la concavité et les points d’inflexion.