Касательная приближает гладкую кривую в окрестности точки. Её угловой коэффициент равен производной. Нормаль проходит через ту же точку и перпендикулярна касательной.
1. Формула касательной
Для \(y=f(x)\) при \(x=a\) точка касания равна \((a,f(a))\), а наклон касательной — \(f'(a)\). Уравнение в форме «точка–наклон»:
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Пример: касательная к параболе
Пусть \(f(x)=x^2\). Найдём касательную при \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Следовательно,
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Постройте x^2 и 2*x-1. Прямая должна касаться параболы в \((1,1)\) и иметь там то же локальное направление.
3. Формула нормали
Если наклон касательной \(m_t\) не равен нулю, наклон нормали равен отрицательному обратному числу:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
В нашем примере \(m_n=-1/2\). Поэтому
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Введите -x/2+3/2, чтобы проверить нормаль.
4. Особые случаи: горизонтальные и вертикальные прямые
- Если \(f'(a)=0\), касательная горизонтальна: \(y=f(a)\). Нормаль вертикальна: \(x=a\).
- Если у кривой вертикальная касательная, нормаль горизонтальна.
- В угловой точке или точке возврата обычная производная может не существовать, поэтому единственной касательной может не быть.
5. Касательная к неявно заданной кривой
Для отношения \(F(x,y)=0\) неявное дифференцирование часто даёт
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
если \(F_y\ne0\). Для окружности \(x^2+y^2=25\):
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
В точке \((3,4)\) наклон касательной равен \(-3/4\), а наклон нормали — \(4/3\).
6. Локальное линейное приближение
Касательная также задаёт линеаризацию
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
для x, близких к a. Для \(f(x)=\sqrt{x}\) около \(a=4\):
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Отсюда \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Типичные ошибки
- Использование \(f'(x)\) вместо вычисленного значения \(f'(a)\).
- Использование точки \((a,f'(a))\) вместо \((a,f(a))\).
- Забытый минус в угловом коэффициенте нормали.
- Применение правила обратного коэффициента к горизонтальной или вертикальной касательной без учёта особого случая.
- Доверие только визуальной касательной без проверки производной.
Откройте графический калькулятор и используйте доступные средства анализа. Далее изучите выпуклость и точки перегиба.