切线在某一点附近给出光滑曲线的线性近似，它的斜率就是该点处的导数。法线通过同一点，并且与切线垂直。
1. 切线公式
对于 \(y=f(x)\) 在 \(x=a\) 处的切线，切点为 \((a,f(a))\)，切线斜率为 \(f'(a)\)。由点斜式可得
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. 计算示例：抛物线的切线
设 \(f(x)=x^2\)，求 \(x=1\) 处的切线。
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
因此
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
绘制 x^2 和 2*x-1。直线应在 \((1,1)\) 处与抛物线相切，并与曲线在该点附近具有相同的方向。
3. 法线公式
如果切线斜率 \(m_t\) 不为零，法线斜率是其负倒数：
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
在本例中，\(m_n=-1/2\)，所以
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
输入 -x/2+3/2 即可验证法线。
4. 水平与竖直的特殊情况
- 若 \(f'(a)=0\)，切线为水平直线 \(y=f(a)\)，法线为竖直直线 \(x=a\)。
- 如果曲线具有竖直切线，则法线为水平直线。
- 在尖角或尖点处，普通导数可能不存在，因此唯一切线也可能不存在。
5. 隐式曲线的切线
对于隐式关系 \(F(x,y)=0\)，隐函数求导通常可得
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
前提是 \(F_y\ne0\)。对于圆 \(x^2+y^2=25\)，
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
在 \((3,4)\) 处，切线斜率为 \(-3/4\)，法线斜率为 \(4/3\)。
6. 局部线性近似
切线还给出了线性化公式
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
它适用于 x 接近 a 的情况。对于 \(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \(a=4\) 附近，
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
由此可估算 \(\sqrt{4.1}\approx2.025\)。
常见错误
- 直接使用 \(f'(x)\)，而没有代入求出 \(f'(a)\)。
- 把切点写成 \((a,f'(a))\)，而不是 \((a,f(a))\)。
- 计算法线斜率时忘记负号。
- 切线水平或竖直时仍机械使用负倒数规则。
- 只凭视觉判断相切，而没有用导数检验。