Garis singgung mendekati kurva mulus di sekitar suatu titik. Gradiennya adalah nilai turunan. Garis normal melalui titik yang sama dan tegak lurus terhadap garis singgung.
1. Rumus garis singgung
Untuk \(y=f(x)\) pada \(x=a\), titiknya adalah \((a,f(a))\) dan gradien garis singgung adalah \(f'(a)\). Bentuk titik-gradien memberikan
\[y-f(a)=f'(a)(x-a).\]
2. Contoh lengkap: garis singgung parabola
Misalkan \(f(x)=x^2\) dan tentukan garis singgung pada \(x=1\).
\[f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.\]
Maka
\[y-1=2(x-1)\Longrightarrow y=2x-1.\]
Gambar x^2 dan 2*x-1. Garis harus menyentuh parabola di \((1,1)\) dan memiliki arah lokal yang sama.
3. Rumus garis normal
Jika gradien garis singgung \(m_t\) tidak nol, gradien garis normal adalah kebalikan negatif:
\[m_n=-\frac1{m_t}.\]
Untuk contoh tersebut, \(m_n=-1/2\). Dengan demikian
\[y-1=-\frac12(x-1)\Longrightarrow y=-\frac12x+\frac32.\]
Masukkan -x/2+3/2 untuk memeriksa garis normal.
4. Kasus khusus horizontal dan vertikal
- Jika \(f'(a)=0\), garis singgung horizontal: \(y=f(a)\). Garis normal vertikal: \(x=a\).
- Jika kurva memiliki garis singgung vertikal, garis normalnya horizontal.
- Pada sudut atau cusp, turunan biasa mungkin tidak ada sehingga garis singgung tunggal mungkin tidak dapat ditentukan.
5. Garis singgung kurva implisit
Untuk relasi implisit \(F(x,y)=0\), diferensiasi implisit sering memberikan
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\]
dengan syarat \(F_y\ne0\). Untuk lingkaran \(x^2+y^2=25\),
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]
Pada \((3,4)\), gradien garis singgung adalah \(-3/4\) dan gradien garis normal adalah \(4/3\).
6. Pendekatan linear lokal
Garis singgung juga memberikan linearisasi
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\]
untuk x yang dekat dengan a. Untuk \(f(x)=\sqrt{x}\) di sekitar \(a=4\),
\[\sqrt{x}\approx2+\frac14(x-4).\]
Rumus ini memperkirakan \(\sqrt{4.1}\approx2.025\).
Kesalahan umum
- Menggunakan \(f'(x)\) tanpa mengevaluasinya menjadi \(f'(a)\).
- Menggunakan titik \((a,f'(a))\), bukan \((a,f(a))\).
- Lupa tanda negatif pada gradien garis normal.
- Menerapkan aturan kebalikan ketika garis singgung horizontal atau vertikal.
- Memercayai garis singgung secara visual tanpa memeriksa turunannya.
Buka Kalkulator Grafik dan gunakan alat analisisnya jika tersedia. Lanjutkan ke kecekungan dan titik belok.